系统闭环传递函数和开环传递函数的关系推导

闭环增益传递函数的推导核心是基于信号反馈原理，通过建立输入、输出与反馈信号的关系，消去反馈变量后得到输出与输入的比值。以下是典型负反馈系统的推导步骤：

1. 明确系统基本模块与变量

负反馈系统包含3个核心模块，各变量定义如下：

• 输入信号： R(s) （系统期望的输入）

• 前向通道传递函数： G(s) （输入到误差信号再到输出的传递关系）

• 反馈通道传递函数： H(s) （输出信号反馈到输入端的传递关系）

• 误差信号： E(s) （输入与反馈信号的差值，负反馈中为“输入 - 反馈”）

• 输出信号： C(s) （系统最终输出）

• 反馈信号： B(s) （输出经反馈通道后的信号）

2. 列写各模块的信号方程

根据模块定义，依次建立变量间的数学关系：

误差信号方程（负反馈核心）：误差信号等于输入信号减去反馈信号 E(s) = R(s) - B(s)

前向通道方程：输出信号等于误差信号乘以前向通道传递函数 C(s) = G(s) × E(s)

反馈通道方程：反馈信号等于输出信号乘以反馈通道传递函数 B(s) = H(s) ×C(s)

3. 消去中间变量，推导闭环传递函数

目标是消去误差信号  E(s)  和反馈信号  B(s) ，得到仅含输入  R(s)  和输出  C(s)  的关系：

将反馈通道方程  B(s) = H(s) ×C(s)  代入误差信号方程，得： E(s) = R(s) - H(s) ×C(s)

将上式代入前向通道方程  C(s) = G(s) × E(s) ，得： C(s) = G(s) ×[R(s) - H(s) ×C(s)]

展开并整理含  C(s)  的项： C(s) = G(s) ×R(s) - G(s) × H(s) ×C(s) C(s) + G(s) ×H(s) ×C(s) = G(s) ×R(s) C(s) ×[1 + G(s) ×H(s)] = G(s) ×R(s)

两边同除以  R(s) ，得到闭环增益传递函数  Phi(s) ： Phi(s) = C(s)/R(s) = G(s)/(1 + G(s) ×H(s))

关键说明

• 若为正反馈系统，误差信号方程变为  E(s) = R(s) + B(s) ，最终闭环传递函数为： Phi(s) = G(s)/(1 - G(s) ×H(s))

-G(s)×H(s)  称为开环传递函数（系统断开反馈时的总传递函数），是分析闭环系统稳定性、动态性能的核心变量。