理解闭环系统稳定性的理论的一个误区

2026-04-16 20:30 来源：电源漫谈电源管理 6 次阅读

摘要：闭环控制系统特征方程的根位于虚轴上，意味着系统处于临界稳定状态——系统输出会呈现持续的、等幅的振荡（无衰减也无增幅），既不收敛也不发散。从工程意义上看，这种状态属于不稳定与稳定的边界：若根在虚轴上且为单根（如纯虚数根±jω），系统输出为正弦等幅振荡，无外界扰动时会一直维持该振荡状态。若根在虚轴上且为重根（如二重纯虚数根），如二阶平方型的根，系统输出会随时间逐渐增幅，实际中会表现为不稳

闭环控制系统特征方程的根位于虚轴上，意味着系统处于临界稳定状态——系统输出会呈现持续的、等幅的振荡（无衰减也无增幅），既不收敛也不发散。

从工程意义上看，这种状态属于不稳定与稳定的边界：

若根在虚轴上且为单根（如纯虚数根±jω），系统输出为正弦等幅振荡，无外界扰动时会一直维持该振荡状态。
若根在虚轴上且为重根（如二重纯虚数根），如二阶平方型的根，系统输出会随时间逐渐增幅，实际中会表现为不稳定。

对于重根，这里重点解释一下，方程中某个根对应多次相同的一次因式，即该根重复出现2次及以上（2次为重根，3次为三重根，以此类推）。

示例：方程 (s-jω)^2(s+2)=0 中，s=jω 是二重重根（因式 (s-jω) 出现2次），s=-2 是单根。

这种临界稳定状态在实际控制系统中通常需避免，因为微小扰动就可能使系统偏离该状态，进入发散的不稳定工况。

这里有一种特殊情况，讨论一下，若闭环控制系统特征根在实轴负半轴，意味着系统处于渐进稳定状态——系统输出会随时间逐渐衰减，最终收敛到稳态值（或零），无振荡或仅存在单调衰减。毫无疑问，这里特征根还是在左半平面的。

从工程表现来看，这种状态是控制系统追求的稳定工况之一，具体特征为：

输出响应为单调衰减（无振荡），例如阶跃输入下，输出会平滑地趋近于设定值，不会出现过冲。
无论初始扰动或输入如何变化，系统最终都能稳定在平衡状态，不存在发散风险，是实际控制工程中最理想的稳定形式之一。

所以，闭环控制系统不稳定的核心条件是：其特征方程的根（闭环极点）中，至少有一个位于[s]平面的右半平面（实部为正）。

具体可分为以下两类情况：

存在实部为正的根：无论该根是实根还是复根（复根必成对出现，实部均为正），系统输出都会随时间呈指数增幅趋势，最终发散，导致系统不稳定。

存在虚轴上的重根：若特征根在虚轴（实部为0）且为二重及以上重根，系统输出同样会随时间逐渐增幅，表现为不稳定（区别于虚轴单根的临界稳定）。

简言之，只要特征根不完全位于左半平面（实部≤0，且虚轴上仅有单根），系统即不稳定。

由前述文章可知，我们推导出的系统闭环传递函数的分母为 1 + G(s)H(s)，令其等于0时，即 G(s)H(s) = -1，此时求解出的 s 值就是闭环系统的特征根（也称为闭环极点），其位置需通过具体的 G(s)H(s) 表达式求解得到，无法直接确定，核心取决于开环传递函数 G(s)H(s) 的形式。

具体分析如下：

根的求解依赖开环传递函数：G(s)H(s) 是系统的开环传递函数，不同系统的 G(s)H(s) 形式不同（如一阶、二阶、高阶，含惯性环节、积分环节等）。需将具体的 G(s)H(s) 代入 G(s)H(s) = -1，转化为关于 s 的代数方程（特征方程），再求解该方程的根。

根的位置（实轴、虚轴、左半平面、右半平面）会随特征方程的具体形式变化。

根的位置决定系统稳定性：求解出的特征根（闭环极点）位置，直接对应之前讨论的稳定/不稳定条件——若根全在左半平面则稳定，有根在右半平面则不稳定，虚轴单根为临界稳定。

闭环系统特征根位于右半平面时不稳定，核心原因是根的正实部会导致系统输出随时间呈指数增幅趋势，最终发散，具体可通过数学本质和工程表现两方面解释：

数学本质：根的实部决定响应趋势

特征根 s 是复变量，可表示为 s = sigma + jomega（sigma 为实部，omega 为虚部）。系统输出响应的时域表达式中，会包含 e^{sigma t} 这一指数项，其变化趋势完全由 sigma 决定：

当根在右半平面时，sigma > 0，则 e^{sigma t} 随时间 t 增大而指数增长（如 sigma=1 时，e^{t} 会从1快速增至无穷大）。
无论根是实根（omega=0，响应为单调增幅）还是复根（omega≠0，响应为增幅振荡），只要 sigma>0，输出最终都会突破系统物理限制，导致发散。

工程表现：输出无法收敛到稳态

从实际控制效果看，若根在右半平面：

即使给系统一个微小的初始扰动（如电压波动、负载变化），输出也会不断放大（如电机转速越来越快、温度持续升高），无法回到设定的稳态值。
例如，若特征根为 s=2+j3（右半平面复根），系统输出会是“振幅随 e^{2t} 增长的正弦振荡”，最终因振幅过大导致系统失控（如机械结构过载、电路烧毁）。

简言之，右半平面根的正实部，是导致系统输出“增幅发散”的根本原因，因此系统必然不稳定。

类似的，我们也可以理解另一种情况，根在左半平面时系统的稳定，核心原因是根的负实部会使系统输出随时间呈指数衰减趋势，最终收敛到稳态值，可从数学本质和工程表现两方面理解：

数学本质：根的实部决定响应衰减

特征根 s 可表示为 s = sigma + jomega（sigma 为实部，omega 为虚部）。系统输出的时域响应中，会包含 e^{sigma t} 这一关键指数项，其变化由 sigma 直接决定：

当根在左半平面时，sigma < 0，则 e^{sigma t} 随时间 t 增大而指数衰减（例如 sigma=-1 时，e^{-t} 会从1逐渐趋近于0）。
无论根是实根（omega=0，响应为单调衰减，如温度缓慢趋近设定值）还是复根（omega≠0，响应为衰减振荡，如机械位移先小幅波动再稳定），最终 e^{sigma t} 都会趋近于0，输出收敛到稳态。

工程表现：输出能稳定到目标值

从实际控制效果看，若根全在左半平面：

无论系统受到初始扰动（如电压波动）还是输入指令变化（如设定温度调整），输出都会在短暂响应后稳定下来，不会发散或持续振荡。
例如，若特征根为 s=-2+j3（左半平面复根），系统输出是“振幅随 e^{-2t} 衰减的正弦振荡”，最终振幅趋近于0，稳定在设定值；若根为 s=-3（左半平面实根），输出则会单调、平滑地趋近稳态，无任何振荡。

简言之，左半平面根的负实部，是系统输出“衰减收敛”的根本原因，因此系统能保持稳定。

这里我们强调一个理解误区，那就是针对闭环传递函数的特征根，和开环传递函数的相移和幅值特性，也就是频率特性，要区分“根的要求”与“开环传递函数的要求”，核心是明确二者的本质对象、判断逻辑、适用场景完全不同，前者是“直接稳定判据”，后者是“间接稳定工具”，具体区别如下：

一、核心区别：本质与逻辑不同

对比维度根的要求（闭环极点要求）开环传递函数的要求（奈奎斯特判据/伯德图判据核心，本质对象针对闭环系统的特征根（闭环极点），是系统稳定的“根本原因”。针对开环传递函数的“频率域特性”，是判断稳定的“工具手段”。

核心逻辑，根全在左半平面 → 闭环系统稳定（直接因果：根的位置决定输出是否收敛）。开环特性需满足“不包围 (-1,j0)这个不稳定点”（奈奎斯特判据），或“增益裕量/相位裕量为正”（伯德图）→ 间接推导闭环根全在左半平面。

稳定的直接/间接性。直接判据：根的位置直接决定稳定，无需其他推导。间接判据：通过开环特性“反向推断”闭环根的位置，不直接看根。

二、具体场景与适用范围不同